Practicum I. Última semana

Décima semana (08/04/2019 - 14/04/2019)

 

Los resultados del examen de bachillerato de estadística han sido en general bastante buenos. El examen tenía ejercicios de lógica que exactamente iguales no habían sido resueltos en clase, pero que con los conceptos claros era fácil resolverlos. 

 

Hoy me han entregado los trabajos de estadística bidimensional, que estudiaba las variables concentración de ozono (ug/m3) y radiación solar (w/m2) y un alumno lo ha resuelto en la pizarra con el Calc. Lo interesante de este trabajo era que entendieran los conceptos y para qué sirve la estadística. Además al ser con datos reales que los alumnos han descargado de internet, buscaba que los alumnos vieran una aplicación real, fuera de los ejercicios propuestos en libros, y que podían jugar con datos que ellos mismos pueden buscar en red.

 

 

 Ejercicio pizarra trigonometría de 4º ESO. Fotografía propia

 

Hoy esta experiencia llega a su fin y toca despedirse de todos. Ha sido una bonita experiencia y me marcho contenta porque he disfrutado de las prácticas, he podido comprobar que sí que me gusta la docencia y que me veo como docente en el futuro (un futuro, espero no muy lejano).

 

Gracias a todo el equipo del I.E.S. Montserrat Roig por acogerme y en especial a mi tutor

 

¡Nos vemos en las aulas!

Practicum I. Penúltima semana

Novena semana (01/04/2019 - 07/04/2019)

Con las vacaciones de semana santa a la vuelta de la esquina, los alumnos están apurando los últimos días para la realización de exámenes de los primeros temas de este tercer trimestre. El próximo lunes, los alumnos de primero de bachillerato de ciencias sociales tienen el examen de estadística unidimensional que les he preparado, y el viernes de esta semana estuvimos resolviendo las dudas que tenían de los ejercicios del tema. Espero que no les resulte muy complicado y puedan sacar bastante nota.

Los alumnos de 4º de ESO han empezado a realizar ejercicios de resolución de triángulos y tienen el examen también la próxima semana. En 2º ESO seguimos con los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, donde parece que hay un claro favorito por parte de los alumnos, el de reducción. En 3º de ESO, también han puesto el examen de matemáticas de progresiones antes de las vacaciones y han empezado nuevo tema: Funciones y gráficas.

Se les ha recomendado a todos los grupos poner los exámenes de las unidades terminadas recientemente antes de vacaciones. Aunque se les juntan muchos exámenes de varias asignaturas, es beneficioso para ellos porque lo tienen reciente y a la vuelta normalmente la tasa de aprobados es menor. Y yo si fuera ellos me alegraría de no tener que estudiar en vacaciones.

A todo esto, la semana que viene ya es mi última en el centro y me da bastante pena despedirme de todos, incluso los de 4º me han invitado a ir a su graduación 😊. Se les coge mucho cariño a todos, además son como "mis primeros alumnos" y me llevo muy buen recuerdo de ellos.

La imagen de esta semana son dos carteles muy originales que me han gustado del centro. 

Fotografías propias

¡Hasta la semana que viene!

Practicum I. Claustro y Consejo Escolar

Octava semana (25/03/2019 - 31/03/2019)

Este último jueves ha habido jornada "intensiva" en el Montserrat. Pude asistir al Claustro de Profesores, en el que se presentaron las estadísticas de los resultados en cuanto a asignaturas suspendidas, previsión de promoción y medidas disciplinarias por cursos y comparando el trimestre pasado con este segundo trimestre, o este año con años anteriores. Estas mismas estadísticas se expusieron al Consejo Escolar, entre otros asuntos. 

He finalizado la unidad que he impartido a 1º de bachillerato de ciencias sociales. Les he propuesto unos ejercicios de repaso del tema que son similares a los que pondré en el examen que hemos fijado el viernes 5 de abril. Además también he comenzado el tema de estadística bidimensional, en el que les evaluaré mediante un trabajo por equipos, donde tendrán que realizar una tarea de representación y análisis de varias variables de un tema transversal como puede ser el medio ambiente, la desigualdad, etc.

En las imágenes de esta semana podemos ver, por año escolar, el alumnado de otros países. En mi opinión, es muy interesante y enriquecedor la mezcla de culturas, porque se promueve la igualdad entre los chavales.

Fotografías propias

¡Hasta la semana que viene!

Practicum I. Tercer trimestre

Séptima semana (18/03/2019 - 24/03/2019)

Los alumnos han disfrutado esta semana del puente de San José, y han vuelto también de su viaje de fin de ciclo los alumnos de 4º de la ESO. Con las pilas renovadas y el segundo trimestre dejado atrás, han seguido avanzando en el temario. 

Esta semana he acudido a una tutoría de un grupo de 2º de ESO. En ella los alumnos han trabajado sus motivaciones y valores, enfocado a una profesión futura. Además tienen una actividad programada para conocer las carreras de ingeniería de la Universidad de Alicante. La actividad está enfocada sobre todo para chicas, ya que aunque en la universidad hay matriculadas más mujeres que hombres, en las ingenierías solo un 25% de los matriculados son mujeres. La primera sesión es para todo el alumnado, chicos y chicas, de 1º y 2º de la ESO, y posteriormente se harán unas prácticas de laboratorio con las chicas que estén interesadas en ver cómo funciona un laboratorio en la universidad. 

Vídeo del proyecto "Quiero ser ingeniera"

El viernes 22 de marzo, el instituto apareció en el Diario Información en la columna de Conciencia Social, destacando las actividades realizadas en el instituto para fomentar la paridad entre mujeres y hombres y poner la igualdad de género como el centro de todas las miradas. Destacan la obra de teatro "Cambiando el cuento", llevada a cabo por los alumnos de teatro, el taller en el que han colaborado personas externas que desarrollan una profesión que se asocia al sexo contrario, en el que lo alumnos tenían que tratar de adivinar la profesión, y la gymkana sobre mujeres en la historia.

Recorte Diario Información, Fotografía propia 

Además esta semana ha habido una reunión de la Comisión de Coordinación Pedagógica (COCOPE). Esta comisión está formada por la directora, el jefe de estudios, los coordinadores de ciclos y TIC's, orientadores y profesor de pedagogía terapéutica. Se encargan de coordinar las labores docentes del profesorado, de los ciclos, de los tutores y especialistas, y de las actividades lectivas y trabajos académicos del centro. 

¡Hasta la semana que viene!

Practicum I. Evaluación 2º trimestre

Sexta semana (11/03/2019 - 17/03/2019)

El suceso más relevante para los alumnos esta semana ha sido conocer sus notas finales de la segunda evaluación, y para mí ver qué sucede en esas juntas de evaluación. He acudido a tres juntas de evaluación de los grupos a los que conozco. La evaluación consta de varias partes.

En primer lugar, se habla sobre la evolución del grupo, a nivel general. Después se pasa a comentar alumno por alumno su evolución. Los profesores de cada asignatura ponen en común la evolución del alumno en cuestión, y junto con el orientador, se ponen de acuerdo en qué medidas adoptar según las necesidades de cada uno.

Evaluación, CC BY HarinathR

Me parecieron unas reuniones muy provechosas, en las que los profesores ponían en común sus puntos de vista, y en la que la máxima prioridad es que los alumnos tengan un buen desarrollo académico y correcta formación de la identidad personal, tan importante en la adolescencia. 

Esta semana he continuado impartiendo la unidad de Estadística Unidimensional. He preparado material didáctico para los alumnos, que se encuentra en la pestaña de Material didáctico de este blog.

¡Hasta la semana que viene!

Practicum I. Semana del 8-M

Quinta semana (04/03/2019 - 10/03/2019)

Esta semana ha sido movida para el alumnado. Con la evaluación del segundo trimestre encima, los alumnos se han examinado de los finales de cada asignatura. En matemáticas, todos los grupos han comenzado ya los siguientes temas para la tercera evaluación, y he tenido el privilegio de dar mi primera clase. He de decir que impone bastante, más cuando no estás acostumbrada a hablar en público, como es mi caso. La suerte es que comencé el tema de estadística con el alumnado de 1º de Bachillerato, por lo que me sentí cómoda al ser mi especialidad.

Comencé el tema de estadística explicando las medidas de centralización y las medidas de dispersión, mediante un ejercicio práctico de la estadística unidimensional. He estado buscando información sobre qué tipo de ejercicios podrían ser los más efectivos para que los alumnos aprendan estadística y no lo vean como algo aburrido. Espero poder despertarles un poco de curiosidad por esta ciencia :)

Con motivo del día de la mujer, este viernes ha sido un día atípico en el instituto. La participación en la huelga ha sido buena por parte del alumnado y el profesorado. El Montserrat Roig está muy involucrado en el tema de la igualdad, y en la gran mayoría de las aulas tienen frases encima de las puertas. Éstas están todo el año puestas. Adjunto las fotografías de unas cuantas:

Fotografías propias

¡Hasta la semana que viene!

Practicum I. Semana 4

Cuarta semana (25/02/2019 - 03/03/2019)

Tal y como adelanté en la entrada anterior, esta semana hemos podido conocer las tutorías cooperativas que se realizan en el centro desde hace tres años. Hay distintos talleres a los que los chavales se apuntan al inicio de curso, mediante una lista de preferencias de opciones. Se ha conseguido que todo el alumnado haya obtenido plaza en algunas de las tres primeras opciones que puso. Es una buena manera para que los alumnos de distintas clases y niveles se relacionen entre ellos, ya que en los recreos no se suele interactuar de esta manera. 

Uno de los talleres que me parecieron más bonitos personalmente fue el de Hermano mayor, donde un grupo de alumnos de cursos superiores, principalmente 1º y 2º de bachillerato, ayudan a los más pequeños, primer ciclo de secundaria normalmente, a realizar los deberes y les resuelven dudas. 

El taller que más gente tenía era el de zumba. Tres alumnas cogieron las riendas de la clase y se subieron al escenario a dirigir la clase. El taller, que se realizó en el gimnasio, puso a bailar a todos (hasta yo di algún pasito) y transmitía muy buena energía.

Logo del I.E.S. Montserrat Roig

Las clases de matemáticas han seguido su curso normal, ya empezando temas del próximo trimestre y rozando los exámenes finales que empiezan (y terminan) la semana que viene. En las clases intento echarles un mano a los chavales cuando tienen dudas en los ejercicios, y me resulta agradable que me llamen para ir a ayudarles.

¡Hasta la próxima semana!

Practicum I. Desenvolviéndome en el centro

Tercera semana (18/02/2019 - 24/02/2019)

El jueves de esta semana tuvo lugar un Claustro de profesorado de carácter extraordinario en el centro. Éste se convocó para hablar sobre ciertos hechos recientes en el centro, sobre aquellos trabajos o actuaciones llevadas a cabo y mejoras. También se habló sobre propuestas de actividades para alumnos y profesores con motivo del próximo 8 de marzo del día de la mujer y la organización del viaje de fin de curso de bachillerato, entre otras muchas cosas.

Los chavales de 4º de ESO han tenido el examen de Figuras Semejantes, en 2º de ESO hemos avanzado con las ecuaciones de segundo grado, viendo ejercicios de mayor complejidad y las incompletas. En 3º de ESO se han visto sistemas de ecuaciones y progresión aritmética. Además de las clases de los grupos habituales a lo que acudo con mi tutor Antonio, he tenido la oportunidad de conocer el funcionamiento de una clase de 1º de bachillerato de matemáticas de la modalidad de ciencias y tecnología, y de laboratorio de física de 4º de ESO, donde los chavales hicieron cromatografía de la tinta de varios rotuladores.

Cromatografía, por José Sabater Montes, CC BY-SA 2.0

La próxima semana se realizará en el centro las tutorías cooperativas. Se trata de proyectos interdepartamentales simultáneos, en los que los chavales se mezclan (los de FP, con los de secundaria, los de bachiller con secundaria, etc), y que sirven para mejorar la convivencia en el centro.

Practicum I. Conociendo el Montserrat Roig

Segunda semana (11/02/2019 - 17/02/2019)

Esta semana hemos tenido una reunión con la directora del centro en la que nos ha hablado más a fondo del centro. El centro abrió sus puertas en 1986 y durante sus años de enseñanzas ha obtenido tres premios hasta ahora: 

• 2º premio de Convivencia de la Conselleria de Educación en el curso 2009
• 2º premio de Innovación Educativa de la Conselleria de Educación en el curso 2009
• Premio Extraordinario 2011 de la Conselleria de Educación: Grupo CONVIELX

Hablamos a continuación sobre este último premio, y en concreto del grupo que recibió el premio, del cual el IES Montserrat Roig forma parte. CONVIELX es un proyecto de buenas prácticas e iniciativas, para la mejora de la convivencia en los institutos de Elche. Las personas encargadas de cada instituto se reúnen semanalmente, desde el curso 2004/2005, para analizar problemas, adoptar medidas paliativas y/o preventivas y hacer seguimientos de los proyectos relacionados con la convivencia.

Destacaría el buen ambiente del equipo docente y la cantidad de actividades y proyectos que proponen. El Montserrat Roig es un instituto con planes innovadores y con unos docentes muy implicados en que el alumnado prospere.

Cuaderno del profesorado y medidas de emergencia, Fotografía propia 

El centro dispone de 1 pizarra digital por aula. Estas dos semanas que he estado en clase y he visto qué uso se le da a la pizarra, me he dado cuenta de que es un elemento imprescindible y que facilita muchísimo las explicaciones. Por ejemplo, al representar figuras sobre un plano, las figuras se aprecian muchísimo mejor y puedes hacerlas más grandes, pequeñas, duplicarlas, dibujar por encima de ellas... A la hora de hacer ejercicios se puede mantener el enunciado en la hoja y realizarlo a continuación con un buen espacio. Dispone de colores (rojo, azul, verde y negro) y un borrador. Sinceramente me habría encantado tener una en mi época de instituto.

El 14 de Febrero se ha puesto música especial de estilo romántico con motivo de día de San Valentín. Las paredes del centro se han vestido con corazones de papel con bonitos mensajes y los grupos de segundo de la ESO se han marchado de excursión al Pantano de Elche. Este fin de semana lo tienen un poco más largo, ya que el 15 no tienen clase los institutos de Elche.

Practicum I. Bienvenida al Montserrat Roig

Primera semana (04/02/2019 - 10/02/2019)

Los primeros días en el IES Montserrat Roig, en la ciudad de Elche, han sido muy agradables y el comienzo de un nuevo camino en mi aprendizaje como futura docente. 

I.E.S. Montserrat Roig, fotografía de su sitio web

Este instituto con más de 1.000 estudiantes ofrece, además de ESO y Bachiller, Ciclos Formativos de Formación Profesional Básica, de Grado Medio y de Grado Superior. En el Centro se encuentra implantada una línea en valenciano de 1º a 4º de ESO y en el resto de los grupos de secundaria el programa de incorporación progresiva al valenciano (PIP).

La primera toma de contacto con los alumnos fue agradable y me acogieron con cariño. Observé clases de matemáticas desde 2º de ESO a 1º de Bachillerato. Antonio, mi tutor en el instituto, imparte unas clases muy dinámicas en las que los alumnos participan activamente a través de las preguntas que se plantean a la medida que se avanza en la explicación.

Los alumnos del máster que estamos en prácticas en el Montserrat Roig, tuvimos una reunión con el Departamento de Orientación y nos transmitieron a través de una presentación cuáles eran sus funciones y cómo colaboran con el docente para orientar al alumnado y llevar a cabo correctamente el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Tuve la oportunidad de asistir a una clase del Proyecto de Aula Compartida, en la que los chicos realizaron un taller de juego de ajedrez, cuya participación fue buena. Mediante este programa se pretende lograr la integración en el Centro y aumentar la motivación por aprender, utilizando otras formas de aprendizaje y otro tipo de vivencias.

4. Probabilidad condicionada

Sucesos dependientes e independientes

Cuando se realizan observaciones de varios sucesos puede que uno dependa del otro. La probabilidad de que ocurra un suceso B cuando está ocurriendo otro, A, se llama condicionada, y se expresa p(B/A).

Dado dos sucesos, se dice que son independientes si la presencia del uno no influye en la probabilidad del otro, es decir, si P(B/A)=p(B); en caso contrario son dependientes.

A y B independientes: P(B/A)=P(B) y al tener en cuenta la formula anterior para p(B/A), A y B independientes: P(A∩B)=P(A)*P(B).

Probabilidad total

Como has podido ver, en los experimentos compuestos se puede hacer un diagrama en árbol, y cada resultado viene dado por un camino en dicho árbol. Para calcular una probabilidad solo hay que dibujar el camino correspondiente, y el producto de las probabilidades de todas las ramas que lo forman será el valor que buscamos.

Así si ocurre A y luego B: P(A y B)=P(A)*P(B/A)

La suma de las probabilidades de todos los caminos es igual a 1.

Consideremos los sucesos representados por la imagen; R=rojo, V=verde y A=azul son tres sucesos incompatibles y tales que la unión forma todo el espacio muestral. Sea C=círculo un suceso cualquiera. Entonces:

P(C)= P(R)*P(C/R) + P(V)*P(C/V) + P(A)*P(C/A)

Este resultado es lo que se conoce como probabilidad total.

Probabilidad "a posteriori"

En ocasiones interesa conocer la P(A/S), es decir cuando ya sabemos que ha ocurrido S en la segunda experiencia, nos preguntamos la probabilidad de que se haya llegado a través de A.

Se trata de una probabilidad condicionada:

Expresión conocida como Fórmula de Bayes.

En el siguiente link tienes ejercicios para practicar la probabilidad a posteriori del Teorema de Bayes.

3. Experimentos compuestos

Sucesos compuestos

Un experimento compuesto es el que está formado por varios experimentos simples realizados de forma consecutiva.

Para calcular el espacio muestral de un experimento compuesto conviene, en muchas ocasiones, hacer un diagrama de árbol que represente todas las opciones. Cada resultado viene dado por un camino del diagrama. Observa en el ejemplo cómo construir el diagrama de árbol.

Tree of probabilities by cis CC BY-2.5 (2018)

Regla de la multiplicación

Si te fijas en el ejemplo anterior, al indicar la probabilidad de cada rama del camino, se obtiene la probabilidad de cada suceso compuesto calculando el producto de los respectivos sucesos simples.

Para calcular la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto se multiplican las probabilidades de los sucesos que lo forman. En el ejemplo, la probabilidad de sacar dos veces cara es la probabilidad que en la primera tirada saquemos cara por la probabilidad de que en la segunda tirada saquemos cara (0,5 * 0,5= 0,25= 25%).

Extracciones con devolución y sin devolución

Un ejemplo de experimento compuesto lo encontramos en la extracción sucesiva  de cartas o de bolas de un a urna. En estos casos hay que considerar si se devuelve la carta, bola, etc. antes de sacr la siguiente o no.

Ejemplo: Sacamos sucesivamente dos cartas de una baraja de 40, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean de copas?

La probabilidad de que la primera carta sea de copas es de 10/40= 25%.

Para la segunda probabilidad depende de que devolvamos la primera carta al mazo o no.

Os propongo como ejercicio y juego para entender lo que hemos visto en esta entrada, que dibujéis el diagrama de árbol del juego El gato y el ratón, y calculéis las probabilidades que tiene el noveno ratón de llegar al queso o al gato.

2. Probabilidad de un suceso

La regla de Laplace

Cuando un experimento aleatorio es regular, es decir que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir ó son equiprobables, para calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el cociente entre el nº de sucesos elementales que componen A (casos favorables) y el nº de sucesos elementales del espacio muestral (casos posibles).

Este resultado se conoce como la regla de Laplace. Observa que para poder aplicarla es necesario que todos los casos posibles sean igualmente probables.

Frecuencia y probabilidad

Como sabes la frecuencia absoluta de un suceso es el número de veces que aparece cuando se repite un experimento aleatorio, y la frecuencia relativa es la frecuencia absoluta dividida por el número de veces, n, que se repite el experimento aleatorio.

Cuando este número n es muy grande, la frecuencia relativa con que aparece un suceso tiende a estabilizarse hacia un valor fijo.

Este resultado, conocido como ley de los grandes números, nos lleva a definir la probabilidad de un suceso como ese número hacia el que tiende la frecuencia relativa al repetir el experimento muchas veces.

Podemos comprobar cómo funciona la ley de los grandes números con el simulador de lanzamientos de una moneda. Observaréis que cuando el número de lanzamientos es mayor, la probabilidad es más próxima al 50%.

Propiedades de la probabilidad

Vista la relación entre frecuencia relativa y probabilidad, se cumple que:

• La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1.
• La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible 0.
• La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles A y B es P(A∪B)=P(A)+P(B).

Y de éstas se deduce además que:

• La probabilidad del contrario es p(A)=1-P(A).
• La probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles es p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)

1. Experimentos aleatorios

Espacio muestral y sucesos

Al extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda, tirar un dado, y en otros ejemplos análogos, no podemos saber de antemano el resultado que se va a obtener. Son experimentos aleatorios, aquellos en los que no se puede predecir el resultado y de ellos se trata aquí.

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral, y cada uno de esos posibles resultados es un suceso elemental. El espacio muestral de un dado son sus seis caras, el que al tirar el dado obtengamos el número 3, es un suceso elemental.

"Cube Roll The Dice Play Sweepstakes Luck Patience" by annca CC0 (2018) 

Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, se verifica cuando ocurre cualquiera de los sucesos elementales que lo forman.

Hay un suceso que se verifica siempre, el suceso seguro que es el mismo espacio muestral. En el caso del dado, si tiramos el dado, seguro que obtenemos un número del 1 al 6.

Operaciones con sucesos

Con los sucesos de un experimento aleatorio se pueden realizar distintas operaciones. Dados dos sucesos A y B:

• La unión de A y B, A∪B, es el suceso formado por todos los sucesos elementales de A y de B. Ocurre cuando sucede A ó sucede B ó ambos. En la imagen está representado por el color naranja.
• La intersección, A∩B, es el suceso formado por los sucesos elementales comunes a A y B. Se verifica cuando ocurren A y B a la vez. En la imagen sería todo aquello de color amarillo, naranja y verde.
• La diferencia de A y B, es el suceso formado por los sucesos elementales de A que no están en B (A - B). Ocurre si sucede A pero no B. En la imagen está representado por el color amarillo.

El suceso contrario a uno dado A, está formado por todos los sucesos del espacio muestral que no están en A. Es el que ocurre cuando no sucede A y se indica como Ã. 

El suceso contrario del seguro es el suceso imposible, que no se verifica nunca, se indica con Ø .

Sucesos compatibles e incompatibles

En un experimento aleatorio hay sucesos que pueden ocurrir a la vez y sucesos que no.

• Dos sucesos se dicen que son compatibles si tienen algún suceso elemental común, en este caso A∩B≠Ø, pueden ocurrir a la vez
• Dos sucesos se dicen incompatibles si no tienen ningún suceso elemental común. En este caso A∩B=Ø y no pueden ocurrir a la vez.

Un suceso y su contrario son siempre incompatibles, pero dos sucesos incompatibles no siempre son contrarios.

Introducción. Probabilidad

"Es remarcable que una ciencia la cual comenzó con el estudio sobre las chances en juegos de azar, se haya convertido en el objeto más importante del conocimiento humano... las preguntas más importantes sobre la vida son, en su mayor parte, en realidad sólo problemas de probabilidad" 

Pierre Simon, Marqués de Laplace (1749-1827)

Según la teoría clásica, la probabilidad es la relación entre el caso favorable y el número total de casos igualmente probables. La probabilidad de frecuencia empírica o relativa se basa en la lógica, la experiencia pasada y la condición presente.

Hace poco hablamos de cuál era la probabilidad de que nos tocara el premio gordo de Navidad. Este tipo de probabilidad se basa en la lógica. Pero la probabilidad no la encontramos solo en juegos de azar.

"Poker Game Play" by ToNic-Pics CC0 (2018)

Seguro que de una forma u otra en muchas ocasiones has manejado probabilidades y no siempre en la escuela. Expresiones como "probablemente lloverá esta tarde" o como "es probable que lo que diga sea verdad" son bastante comunes en el lenguaje cotidiano. 

Un ejemplo de probabilidad basada en la experiencia podría ser el resultado de un examen. Si no hemos estudiado para el examen que nos vamos a presentar, es muy probable que lo tengamos un mal resultado. La probabilidad basada en experiencias pasadas se basa en la observación de sucesos.

En asignaturas como biología habrás dado o darás la probabilidad de que un niño tenga un color de ojos determinado según el color de ojos de los padres. Aquí tenéis un artículo resumen sobre ello.

La probabilidad tiene muchísimas aplicaciones en la vida real y es de vital importancia para la toma de decisiones del día a día. Mediante este tema serás capaz de hallar los sucesos de un experimento aleatorio, realizar operaciones con ellos, determinar si dos procesos son compatibles o incompatibles, calcular la probabilidad mediante la regla de Laplace, hallar la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto, hallar la probabilidad de sucesos dependientes e independientes y aplicar la probabilidad a situaciones de la vida cotidiana.

4. Representatividad

Muestreo estratificado.

Una muestra es representativa de la población cuando en ella podemos encontrar las mismas proporciones de las características de estudio que en el conjunto de la población. El proceso de elegir una muestra, a qué individuos elegimos como representantes de la población, es el punto importante y de ello va a depender que el estudio sea útil o no (representativo o no).

Elegir bien la muestra no es sinónimo de representatividad, pero elegirla mal casi si es sinónimo de no representatividad.

Por ejemplo, si queremos estudiar el poder adquisitivo de una población, y solo elegimos a individuos de una determinada zona, o principalmente de una determinada zona, la muestra con toda seguridad no será representativa. La muestra se ha de elegir tomando muestras de individuos proporcionales a la población de cada zona. Este tipo de muestreo, escogiendo un reparto proporcional a los estratos, se llama estratificado.

Para verlo con un ejemplo real, imaginemos que queremos estudiar el poder adquisitivo medio de los españoles. Según la zona de España, los habitantes reciben de media una renta superior o inferior comparado con otra zona. Según un estudio estadístico de los declarantes del Impuesto sobre la Renta de las Personas Físicas por municipios de 2016 (ver estudio), los municipios con mayores rentas se encuentran en Cataluña y Madrid, mientras que los que tienen menor renta pertenecen a Extremadura y Andalucía. Por lo que si no escogemos proporcionalmente los estratos de la muestra, no realizaremos correctamente el estudio del poder adquisitivo. Viendo la imagen siguiente, imagina que seleccionamos para la muestra 12.000 personas de la provincia de Almería y 6.000 de Madrid para nuestro estudio, éste no sería un ejemplo de muestreo estratificado. 

"Densidad población España" by Mortadelo2005 - CC BY-3.0 (2018)

(El mapa con la densidad de población es a nivel ilustrativo. Hay que tener en cuenta que la densidad de población es una medida calculada a partir de la superficie de la región y el número de habitantes. Para el ejemplo expuesto entre Almería y Madrid la comparación es correcta puesto que la superficie en km2 es similar en ambas)

Sesgo. Muestreo Aleatorio.

Sesgo. Se dice que la muestra está sesgada cuando hay diferencia entre los datos de la muestra y los datos de toda la población. 

Ejemplo: llamadas telefónicas voluntarias. Estas encuentras tienen varias fuentes de sesgo. Hay familias que no tienen teléfono, el coste de la llamada no todo el mundo está dispuesto a asumirlo. Pero sobre todo, el factor de respuesta voluntaria, los encuestados se auto-seleccionan. Suelen contestar aquello con una fuerte opinión negativa sobre el tema. El enojo les anima a participar.

Muestreo aleatorio total. A diferencia del estratificado, que guarda las proporciones, esta forma de elegir la muestra considera a toda la población y elige individuos aleatoriamente. Se considera una buena forma de proceder.

En el ejemplo que hemos visto anteriormente del estudio del poder adquisitivo medio de los españoles, no se tendría en cuenta el número de habitantes de las zonas de España para seleccionar la muestra, sino que seleccionaríamos las personas al azar sin tener en cuenta a qué zona pertenecen.

Matemáticas y la lotería de navidad

Ya está aquí una de las fechas más señaladas del año: la Navidad. Comidas familiares, decoración navideña en calles y casas, olor a castañas, regalos, reencuentros... y vacaciones!

Las matemáticas están presentes en todas partes, incluso en Navidad. Hoy os comparto una curiosidad sobre la lotería de Navidad.

"Lotería Navidad" by Álvaro Ibáñez - CC BY-2.0 (2018)

Esto es un adelanto de lo que aprenderemos en el tema siguiente: Probabilidad.

En el bombo del sorteo del 22 de diciembre, tenemos cien mil bolas con los números del 00000 al 99999. Seguramente tú o alguien cercano a ti, haya comprado un número para el sorteo. Pero, ¿qué probabilidad de que nos toque el gordo del sorteo de Navidad tiene el décimo que hemos/han comprado?

Esto se calcula con un cálculo sencillo conocido como la regla de Laplace. Esta dice que si todos los eventos tienen la misma probabilidad de suceder (equiprobables), la probabilidad de que uno de ellos suceda, es el número de casos favorables dividido por el número de casos posibles.

Si hemos comprado un número de la lotería, el cálculo sería el siguiente:

Si lo vemos como porcentaje, solo tendríamos que multiplicarlo por 100. El porcentaje de que nos tocara el gordo comprando solo un número es del 0,001%. 

Según los últimos sondeos, los españoles nos gastamos de media 60€ comprando décimos de la lotería de Navidad, según los datos de la Agrupación Nacional de Asociaciones Provinciales de Administraciones de Lotería (Anapal). Si cada décimo vale 20€, tenemos que cada español ha comprado de media 3 décimos. En una familia de 8 miembros, ¿qué probabilidad hay de que le toque a alguno de ellos?

Aunque es muy muy poco probable que nos toque el premio gordo en la lotería de Navidad, esta época de paz y tranquilidad nos aporta muchas cosas. Disfrutad de todas ellas con vuestros seres queridos.

"Merry christmas!" by Janine CC BY-2.0 (2018)

¡Feliz navidad!

3. Medidas de dispersión

Seguimos avanzando en el temario. Hoy vamos a ver las medidas de dispersión.

Varianza, Desviación típica y rango

"La estadística es una ciencia según la cual, si yo me como un pollo y tú no te comes ninguno, nos hemos comido como promedio medio pollo cada uno".

La estadística indicará que todos comen lo mismo cuando las medidas de dispersión sean todas nulas.

Rango. El intervalo definido por el menor y el mayor dato. También se llama rango a la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.

Varianza. La media aritmética de los cuadrados de las diferencias de los datos con la media.

Desviación típica. La raíz cuadrada positiva de la varianza

Medir la dispersión

Ese es el objetivo de estas medidas. Por ejemplo, los datos A={20, 20}, B={15, 20, 20, 25} tienen la misma media, moda y mediana. En todos los casos igual a 20. Sin embargo, puedes comprobar que en ninguna de las tres medidas de dispersión definidas arriba coinciden.

Media y desviación típica.

Para muestras unimodales (una sola moda) y casi simétricas, alrededor de la media podemos considerar un intervalo que contenga la mayoría de los datos. Por ejemplo, para una muestra con media 100 y desviación típica 10, la mayor parte de los daros estarán entre 90 y 110, aproximadamente el 68%; entre 80 y 120 estará el 95% aproximadamente. Y casi todos entre 70 y 130. Hay una forma de distribución de datos llamada normal que cumple con lo anterior, y de una manera u otra, de todas las poblaciones grandes se pueden extraer datos que se ajustan a ella. En cursos superiores se verá la importancia de estas distribuciones.

"Distribución Normal" by Kanyjoman - CC BY-2.0 (2018)

2. Medidas de centralización

Media, mediana y moda

Un conjunto N de observaciones, N números, puede que por si solo no nos diga nada. En cambio, si además nos dicen que están situados alrededor de uno o varios valores centrales ya tenemos una referencia que sintetiza la información.

Moda. Si una observación se repite más que cualquier otra, será considerada la moda de esos datos. Por ejemplo, si tenemos las observaciones 6, 7, 8, 6, 7, 6, 8, 6, 9 y agrupamos los datos (6, 4 veces), (7, 2 veces), (8, 2 veces), (9, 1 vez), vemos claramente que el valor 6 aparece más que ningún otro. En este caso la moda es 6.

En el caso de variable continua, consideraremos por moda a la marca del intervalo de mayor frecuencia, cuando esto ocurra. También puede ocurrir que haya dos modas o que no haya ninguna que destaque.

Mediana. El número tal que la mitad de las observaciones son mayores que él y la otra mitad menores. El valor de la mediana, será aquel valor que deje a la izquierda el 50% de los datos y a la derecha el otro 50%. Por ejemplo si tenemos las observaciones 6, 7, 8, 6, 7, 6, 8, 6, 9, las ordenamos: 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9. El número 7 deja a su izquierda 4 observaciones y a su derecha otras 4, por lo tanto es la mediana. ¿Qué pasa si el total de las observaciones es par? Por ejemplo: 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9. Tendríamos que sumar estos dos números centrales y dividirlo por 2. La mediana es 7,5.

Media. La suma de los N números dividida entre N. Por ejemplo, para 3, 4 y 5, (3+4+5)/3=12/3=4; para 1, 1, 4, 8, 8 y 8, (1*2+4+8*3)/6=5.

"Visualisation mode median mean" by RIDC NeuroMat CC BY-SA 4.0 (2018)

Media. Evolución de esta al añadir y/o cambiar un dato.

1. Para los datos 5 y 5 la media es 5. Si añadimos un 5 se mantiene en 5. Si añadimos un 8 la media pasa a ser 6.
2. Si tenemos 9 datos con media 5, necesitamos añadir un 6 para que la media pase a ser 5,1. Si tenemos 19 datos con media 5, necesitamos un dato de valor 7 para que la media suba a 5,1.
3. Para un conjunto de datos con media 5, si añadimos otro con media 5, por ejemplo 6 y 4, el nuevo conjunto conserva la media.

Mediana. Evolución de esta al añadir y/o cambiar un dato.

1. La mediana, para los datos 2, 3 y 4 es Me=3. Si cambiamos el 4 por 5 o por 6 o por cualquier otro valor mayor sigue siendo Me=3.
2. En cambio, si añadimos otro dato y tenemos 2, 3, 4 y 4, por ejemplo, la Me=3,5. Y si ahora añadimos un quinto valor, un 4 o un 5 o un 6 o cualquier otro mayor que 4, la mediana en 2, 3, 4, 4 y X pasa a ser 4. Da igual si el valor X es 5, 10 o 50.

Media y mediana comparadas.

Para los datos 4 y 6 la media y la mediana coinciden en 5. Añadir un 8 o un 11 da los mismo para la mediana, que pasa a ser en ambos casos 6. Sin embargo, la media con un 8 pasa a ser 6 y con un 11 pasa a ser 7. Los valores 8 y 11 se consideran observaciones atípicas, están distanciados del resto de valores, tiran de la media y no afectan a la mediana. Si los datos estuvieran repartidos simétricamente respecto a un valor, ese valor sería a la vez la media y la mediana. En cambio, si los valores a un lado de la mediana están más alejados de ella que de los del otro lado, la media se desplaza hacia esos valores alejados que tiran de ella. Hay una asimetría.

Medidas de posición: cuartiles y percentiles.

Dado un conjunto de datos numéricos además de la mediana podemos considerar otras medidas de posición.

• Si nos fijamos en el primer valor que supera al 25% o al 75% de los datos, estamos hablando del primer y tercer cuartil, Q1 y Q3. La mediana es igual al segundo cuartil (Q2), ya que como hemos visto, deja a la izquierda y derecha el 50% de los datos.
• Para otros valores como el 10%, o el 80% hablamos de percentiles, P10 y P80.

"Quantile graph" by René Schwarz CC BY-SA 3.0 (2018)

1. Estadística Descriptiva

Población y muestra

Población es el conjunto de individuos, con alguna característica común, sobre el que se hace un estudio estadístico. La población es un subconjunto del universo, que es el total de individuos.

La muestra es un subconjunto de la población, seleccionada de modo que ponga de manifiesto las características de la misma, de ahí que la propiedad más importante de las muestras es su representatividad.

El proceso seguido en la extracción de la muestra se llama muestreo.

En el siguiente gráfico se puede apreciar un ejemplo explicativo.

"Población" by Fernando1moreno1 CC BY-SA-4.0 (2018)

Variables estadísticas

La característica a estudiar en una población es la variable estadística.

Las variables estadísticas pueden ser esencialmente de dos tipos:

• Las variables cualitativas son las que no aparecen en forma numérica sino como una categoría o atributo. El instituto en el que estudias, tu color de pelo o tu grupo de música favorito son ejemplos de variables cualitativas.

• Las variables cuantitativas son las que pueden expresarse numéricamente, y a su vez pueden ser:

• Cuantitativas discretas, si sólo pueden tomar un número finito de valores. El número de hermanos que tienes, el número de mensajes que envías a diario o las veces que has visitado un país, son variables cuantitativas discretas.

• Cuantitativas continuas cuando pueden tomar cualquier valor de un intervalo. El peso, la altura, la concentración de los ingredientes de un medicamento, son ejemplos de variables cuantitativas continuas.

Gráficos en variables cualitativas.

El diagrama de sectores es el más indicado para este tipo de información. El porcentaje de datos de cada valor en una muestra se corresponde con el mismo porcentaje de sector de un círculo. Así por ejemplo, si los datos son (A, A, A, A, A, B, B, B, C, C). Las frecuencias son (A, 5), (B, 3) y (C, 2), los porcentajes serán (A, 50%), (B, 30%) y (C, 20%), los que corresponde a un gráfico de sectores con (A, 180º), (B, 108º) y (C, 72º).

Gráficos en variables discretas.

Diagrama de barras. En este gráfico la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Gráficos en variables continuas.

Histograma. Los datos se representan por rectángulos cuya base es la amplitud del intervalo representado y con la altura que nos indica la frecuencia absoluta, si todos los intervalos son de la misma amplitud. Si no es el caso, las alturas se calculan de manera que las áreas sean proporcionales a las frecuencias absolutas.

Polígono de frecuencias. Uniremos los centros de la parte superior de todos los rectángulos para obtenerlo.

También se suele dibujar el histograma de las frecuencias acumuladas, en cada dato se acumula la frecuencia de los datos anteriores.