4. Probabilidad condicionada

Sucesos dependientes e independientes

Cuando se realizan observaciones de varios sucesos puede que uno dependa del otro. La probabilidad de que ocurra un suceso B cuando está ocurriendo otro, A, se llama condicionada, y se expresa p(B/A).

Dado dos sucesos, se dice que son independientes si la presencia del uno no influye en la probabilidad del otro, es decir, si P(B/A)=p(B); en caso contrario son dependientes.

A y B independientes: P(B/A)=P(B) y al tener en cuenta la formula anterior para p(B/A), A y B independientes: P(A∩B)=P(A)*P(B).

Probabilidad total

Como has podido ver, en los experimentos compuestos se puede hacer un diagrama en árbol, y cada resultado viene dado por un camino en dicho árbol. Para calcular una probabilidad solo hay que dibujar el camino correspondiente, y el producto de las probabilidades de todas las ramas que lo forman será el valor que buscamos.

Así si ocurre A y luego B: P(A y B)=P(A)*P(B/A)

La suma de las probabilidades de todos los caminos es igual a 1.

Consideremos los sucesos representados por la imagen; R=rojo, V=verde y A=azul son tres sucesos incompatibles y tales que la unión forma todo el espacio muestral. Sea C=círculo un suceso cualquiera. Entonces:

P(C)= P(R)*P(C/R) + P(V)*P(C/V) + P(A)*P(C/A)

Este resultado es lo que se conoce como probabilidad total.

Probabilidad "a posteriori"

En ocasiones interesa conocer la P(A/S), es decir cuando ya sabemos que ha ocurrido S en la segunda experiencia, nos preguntamos la probabilidad de que se haya llegado a través de A.

Se trata de una probabilidad condicionada:

Expresión conocida como Fórmula de Bayes.

En el siguiente link tienes ejercicios para practicar la probabilidad a posteriori del Teorema de Bayes.