4. Probabilidad condicionada

Sucesos dependientes e independientes

Cuando se realizan observaciones de varios sucesos puede que uno dependa del otro. La probabilidad de que ocurra un suceso B cuando está ocurriendo otro, A, se llama condicionada, y se expresa p(B/A).

Dado dos sucesos, se dice que son independientes si la presencia del uno no influye en la probabilidad del otro, es decir, si P(B/A)=p(B); en caso contrario son dependientes.

A y B independientes: P(B/A)=P(B) y al tener en cuenta la formula anterior para p(B/A), A y B independientes: P(A∩B)=P(A)*P(B).

Probabilidad total

Como has podido ver, en los experimentos compuestos se puede hacer un diagrama en árbol, y cada resultado viene dado por un camino en dicho árbol. Para calcular una probabilidad solo hay que dibujar el camino correspondiente, y el producto de las probabilidades de todas las ramas que lo forman será el valor que buscamos.

Así si ocurre A y luego B: P(A y B)=P(A)*P(B/A)

La suma de las probabilidades de todos los caminos es igual a 1.

Consideremos los sucesos representados por la imagen; R=rojo, V=verde y A=azul son tres sucesos incompatibles y tales que la unión forma todo el espacio muestral. Sea C=círculo un suceso cualquiera. Entonces:

P(C)= P(R)*P(C/R) + P(V)*P(C/V) + P(A)*P(C/A)

Este resultado es lo que se conoce como probabilidad total.

Probabilidad "a posteriori"

En ocasiones interesa conocer la P(A/S), es decir cuando ya sabemos que ha ocurrido S en la segunda experiencia, nos preguntamos la probabilidad de que se haya llegado a través de A.

Se trata de una probabilidad condicionada:

Expresión conocida como Fórmula de Bayes.

En el siguiente link tienes ejercicios para practicar la probabilidad a posteriori del Teorema de Bayes.

3. Experimentos compuestos

Sucesos compuestos

Un experimento compuesto es el que está formado por varios experimentos simples realizados de forma consecutiva.

Para calcular el espacio muestral de un experimento compuesto conviene, en muchas ocasiones, hacer un diagrama de árbol que represente todas las opciones. Cada resultado viene dado por un camino del diagrama. Observa en el ejemplo cómo construir el diagrama de árbol.

Tree of probabilities by cis CC BY-2.5 (2018)

Regla de la multiplicación

Si te fijas en el ejemplo anterior, al indicar la probabilidad de cada rama del camino, se obtiene la probabilidad de cada suceso compuesto calculando el producto de los respectivos sucesos simples.

Para calcular la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto se multiplican las probabilidades de los sucesos que lo forman. En el ejemplo, la probabilidad de sacar dos veces cara es la probabilidad que en la primera tirada saquemos cara por la probabilidad de que en la segunda tirada saquemos cara (0,5 * 0,5= 0,25= 25%).

Extracciones con devolución y sin devolución

Un ejemplo de experimento compuesto lo encontramos en la extracción sucesiva  de cartas o de bolas de un a urna. En estos casos hay que considerar si se devuelve la carta, bola, etc. antes de sacr la siguiente o no.

Ejemplo: Sacamos sucesivamente dos cartas de una baraja de 40, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean de copas?

La probabilidad de que la primera carta sea de copas es de 10/40= 25%.

Para la segunda probabilidad depende de que devolvamos la primera carta al mazo o no.

Os propongo como ejercicio y juego para entender lo que hemos visto en esta entrada, que dibujéis el diagrama de árbol del juego El gato y el ratón, y calculéis las probabilidades que tiene el noveno ratón de llegar al queso o al gato.

2. Probabilidad de un suceso

La regla de Laplace

Cuando un experimento aleatorio es regular, es decir que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir ó son equiprobables, para calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el cociente entre el nº de sucesos elementales que componen A (casos favorables) y el nº de sucesos elementales del espacio muestral (casos posibles).

Este resultado se conoce como la regla de Laplace. Observa que para poder aplicarla es necesario que todos los casos posibles sean igualmente probables.

Frecuencia y probabilidad

Como sabes la frecuencia absoluta de un suceso es el número de veces que aparece cuando se repite un experimento aleatorio, y la frecuencia relativa es la frecuencia absoluta dividida por el número de veces, n, que se repite el experimento aleatorio.

Cuando este número n es muy grande, la frecuencia relativa con que aparece un suceso tiende a estabilizarse hacia un valor fijo.

Este resultado, conocido como ley de los grandes números, nos lleva a definir la probabilidad de un suceso como ese número hacia el que tiende la frecuencia relativa al repetir el experimento muchas veces.

Podemos comprobar cómo funciona la ley de los grandes números con el simulador de lanzamientos de una moneda. Observaréis que cuando el número de lanzamientos es mayor, la probabilidad es más próxima al 50%.

Propiedades de la probabilidad

Vista la relación entre frecuencia relativa y probabilidad, se cumple que:

• La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1.
• La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible 0.
• La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles A y B es P(A∪B)=P(A)+P(B).

Y de éstas se deduce además que:

• La probabilidad del contrario es p(A)=1-P(A).
• La probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles es p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)

1. Experimentos aleatorios

Espacio muestral y sucesos

Al extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda, tirar un dado, y en otros ejemplos análogos, no podemos saber de antemano el resultado que se va a obtener. Son experimentos aleatorios, aquellos en los que no se puede predecir el resultado y de ellos se trata aquí.

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral, y cada uno de esos posibles resultados es un suceso elemental. El espacio muestral de un dado son sus seis caras, el que al tirar el dado obtengamos el número 3, es un suceso elemental.

"Cube Roll The Dice Play Sweepstakes Luck Patience" by annca CC0 (2018) 

Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, se verifica cuando ocurre cualquiera de los sucesos elementales que lo forman.

Hay un suceso que se verifica siempre, el suceso seguro que es el mismo espacio muestral. En el caso del dado, si tiramos el dado, seguro que obtenemos un número del 1 al 6.

Operaciones con sucesos

Con los sucesos de un experimento aleatorio se pueden realizar distintas operaciones. Dados dos sucesos A y B:

• La unión de A y B, A∪B, es el suceso formado por todos los sucesos elementales de A y de B. Ocurre cuando sucede A ó sucede B ó ambos. En la imagen está representado por el color naranja.
• La intersección, A∩B, es el suceso formado por los sucesos elementales comunes a A y B. Se verifica cuando ocurren A y B a la vez. En la imagen sería todo aquello de color amarillo, naranja y verde.
• La diferencia de A y B, es el suceso formado por los sucesos elementales de A que no están en B (A - B). Ocurre si sucede A pero no B. En la imagen está representado por el color amarillo.

El suceso contrario a uno dado A, está formado por todos los sucesos del espacio muestral que no están en A. Es el que ocurre cuando no sucede A y se indica como Ã. 

El suceso contrario del seguro es el suceso imposible, que no se verifica nunca, se indica con Ø .

Sucesos compatibles e incompatibles

En un experimento aleatorio hay sucesos que pueden ocurrir a la vez y sucesos que no.

• Dos sucesos se dicen que son compatibles si tienen algún suceso elemental común, en este caso A∩B≠Ø, pueden ocurrir a la vez
• Dos sucesos se dicen incompatibles si no tienen ningún suceso elemental común. En este caso A∩B=Ø y no pueden ocurrir a la vez.

Un suceso y su contrario son siempre incompatibles, pero dos sucesos incompatibles no siempre son contrarios.

Introducción. Probabilidad

"Es remarcable que una ciencia la cual comenzó con el estudio sobre las chances en juegos de azar, se haya convertido en el objeto más importante del conocimiento humano... las preguntas más importantes sobre la vida son, en su mayor parte, en realidad sólo problemas de probabilidad" 

Pierre Simon, Marqués de Laplace (1749-1827)

Según la teoría clásica, la probabilidad es la relación entre el caso favorable y el número total de casos igualmente probables. La probabilidad de frecuencia empírica o relativa se basa en la lógica, la experiencia pasada y la condición presente.

Hace poco hablamos de cuál era la probabilidad de que nos tocara el premio gordo de Navidad. Este tipo de probabilidad se basa en la lógica. Pero la probabilidad no la encontramos solo en juegos de azar.

"Poker Game Play" by ToNic-Pics CC0 (2018)

Seguro que de una forma u otra en muchas ocasiones has manejado probabilidades y no siempre en la escuela. Expresiones como "probablemente lloverá esta tarde" o como "es probable que lo que diga sea verdad" son bastante comunes en el lenguaje cotidiano. 

Un ejemplo de probabilidad basada en la experiencia podría ser el resultado de un examen. Si no hemos estudiado para el examen que nos vamos a presentar, es muy probable que lo tengamos un mal resultado. La probabilidad basada en experiencias pasadas se basa en la observación de sucesos.

En asignaturas como biología habrás dado o darás la probabilidad de que un niño tenga un color de ojos determinado según el color de ojos de los padres. Aquí tenéis un artículo resumen sobre ello.

La probabilidad tiene muchísimas aplicaciones en la vida real y es de vital importancia para la toma de decisiones del día a día. Mediante este tema serás capaz de hallar los sucesos de un experimento aleatorio, realizar operaciones con ellos, determinar si dos procesos son compatibles o incompatibles, calcular la probabilidad mediante la regla de Laplace, hallar la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto, hallar la probabilidad de sucesos dependientes e independientes y aplicar la probabilidad a situaciones de la vida cotidiana.

4. Representatividad

Muestreo estratificado.

Una muestra es representativa de la población cuando en ella podemos encontrar las mismas proporciones de las características de estudio que en el conjunto de la población. El proceso de elegir una muestra, a qué individuos elegimos como representantes de la población, es el punto importante y de ello va a depender que el estudio sea útil o no (representativo o no).

Elegir bien la muestra no es sinónimo de representatividad, pero elegirla mal casi si es sinónimo de no representatividad.

Por ejemplo, si queremos estudiar el poder adquisitivo de una población, y solo elegimos a individuos de una determinada zona, o principalmente de una determinada zona, la muestra con toda seguridad no será representativa. La muestra se ha de elegir tomando muestras de individuos proporcionales a la población de cada zona. Este tipo de muestreo, escogiendo un reparto proporcional a los estratos, se llama estratificado.

Para verlo con un ejemplo real, imaginemos que queremos estudiar el poder adquisitivo medio de los españoles. Según la zona de España, los habitantes reciben de media una renta superior o inferior comparado con otra zona. Según un estudio estadístico de los declarantes del Impuesto sobre la Renta de las Personas Físicas por municipios de 2016 (ver estudio), los municipios con mayores rentas se encuentran en Cataluña y Madrid, mientras que los que tienen menor renta pertenecen a Extremadura y Andalucía. Por lo que si no escogemos proporcionalmente los estratos de la muestra, no realizaremos correctamente el estudio del poder adquisitivo. Viendo la imagen siguiente, imagina que seleccionamos para la muestra 12.000 personas de la provincia de Almería y 6.000 de Madrid para nuestro estudio, éste no sería un ejemplo de muestreo estratificado. 

"Densidad población España" by Mortadelo2005 - CC BY-3.0 (2018)

(El mapa con la densidad de población es a nivel ilustrativo. Hay que tener en cuenta que la densidad de población es una medida calculada a partir de la superficie de la región y el número de habitantes. Para el ejemplo expuesto entre Almería y Madrid la comparación es correcta puesto que la superficie en km2 es similar en ambas)

Sesgo. Muestreo Aleatorio.

Sesgo. Se dice que la muestra está sesgada cuando hay diferencia entre los datos de la muestra y los datos de toda la población. 

Ejemplo: llamadas telefónicas voluntarias. Estas encuentras tienen varias fuentes de sesgo. Hay familias que no tienen teléfono, el coste de la llamada no todo el mundo está dispuesto a asumirlo. Pero sobre todo, el factor de respuesta voluntaria, los encuestados se auto-seleccionan. Suelen contestar aquello con una fuerte opinión negativa sobre el tema. El enojo les anima a participar.

Muestreo aleatorio total. A diferencia del estratificado, que guarda las proporciones, esta forma de elegir la muestra considera a toda la población y elige individuos aleatoriamente. Se considera una buena forma de proceder.

En el ejemplo que hemos visto anteriormente del estudio del poder adquisitivo medio de los españoles, no se tendría en cuenta el número de habitantes de las zonas de España para seleccionar la muestra, sino que seleccionaríamos las personas al azar sin tener en cuenta a qué zona pertenecen.

Matemáticas y la lotería de navidad

Ya está aquí una de las fechas más señaladas del año: la Navidad. Comidas familiares, decoración navideña en calles y casas, olor a castañas, regalos, reencuentros... y vacaciones!

Las matemáticas están presentes en todas partes, incluso en Navidad. Hoy os comparto una curiosidad sobre la lotería de Navidad.

"Lotería Navidad" by Álvaro Ibáñez - CC BY-2.0 (2018)

Esto es un adelanto de lo que aprenderemos en el tema siguiente: Probabilidad.

En el bombo del sorteo del 22 de diciembre, tenemos cien mil bolas con los números del 00000 al 99999. Seguramente tú o alguien cercano a ti, haya comprado un número para el sorteo. Pero, ¿qué probabilidad de que nos toque el gordo del sorteo de Navidad tiene el décimo que hemos/han comprado?

Esto se calcula con un cálculo sencillo conocido como la regla de Laplace. Esta dice que si todos los eventos tienen la misma probabilidad de suceder (equiprobables), la probabilidad de que uno de ellos suceda, es el número de casos favorables dividido por el número de casos posibles.

Si hemos comprado un número de la lotería, el cálculo sería el siguiente:

Si lo vemos como porcentaje, solo tendríamos que multiplicarlo por 100. El porcentaje de que nos tocara el gordo comprando solo un número es del 0,001%. 

Según los últimos sondeos, los españoles nos gastamos de media 60€ comprando décimos de la lotería de Navidad, según los datos de la Agrupación Nacional de Asociaciones Provinciales de Administraciones de Lotería (Anapal). Si cada décimo vale 20€, tenemos que cada español ha comprado de media 3 décimos. En una familia de 8 miembros, ¿qué probabilidad hay de que le toque a alguno de ellos?

Aunque es muy muy poco probable que nos toque el premio gordo en la lotería de Navidad, esta época de paz y tranquilidad nos aporta muchas cosas. Disfrutad de todas ellas con vuestros seres queridos.

"Merry christmas!" by Janine CC BY-2.0 (2018)

¡Feliz navidad!

3. Medidas de dispersión

Seguimos avanzando en el temario. Hoy vamos a ver las medidas de dispersión.

Varianza, Desviación típica y rango

"La estadística es una ciencia según la cual, si yo me como un pollo y tú no te comes ninguno, nos hemos comido como promedio medio pollo cada uno".

La estadística indicará que todos comen lo mismo cuando las medidas de dispersión sean todas nulas.

Rango. El intervalo definido por el menor y el mayor dato. También se llama rango a la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.

Varianza. La media aritmética de los cuadrados de las diferencias de los datos con la media.

Desviación típica. La raíz cuadrada positiva de la varianza

Medir la dispersión

Ese es el objetivo de estas medidas. Por ejemplo, los datos A={20, 20}, B={15, 20, 20, 25} tienen la misma media, moda y mediana. En todos los casos igual a 20. Sin embargo, puedes comprobar que en ninguna de las tres medidas de dispersión definidas arriba coinciden.

Media y desviación típica.

Para muestras unimodales (una sola moda) y casi simétricas, alrededor de la media podemos considerar un intervalo que contenga la mayoría de los datos. Por ejemplo, para una muestra con media 100 y desviación típica 10, la mayor parte de los daros estarán entre 90 y 110, aproximadamente el 68%; entre 80 y 120 estará el 95% aproximadamente. Y casi todos entre 70 y 130. Hay una forma de distribución de datos llamada normal que cumple con lo anterior, y de una manera u otra, de todas las poblaciones grandes se pueden extraer datos que se ajustan a ella. En cursos superiores se verá la importancia de estas distribuciones.

"Distribución Normal" by Kanyjoman - CC BY-2.0 (2018)

2. Medidas de centralización

Media, mediana y moda

Un conjunto N de observaciones, N números, puede que por si solo no nos diga nada. En cambio, si además nos dicen que están situados alrededor de uno o varios valores centrales ya tenemos una referencia que sintetiza la información.

Moda. Si una observación se repite más que cualquier otra, será considerada la moda de esos datos. Por ejemplo, si tenemos las observaciones 6, 7, 8, 6, 7, 6, 8, 6, 9 y agrupamos los datos (6, 4 veces), (7, 2 veces), (8, 2 veces), (9, 1 vez), vemos claramente que el valor 6 aparece más que ningún otro. En este caso la moda es 6.

En el caso de variable continua, consideraremos por moda a la marca del intervalo de mayor frecuencia, cuando esto ocurra. También puede ocurrir que haya dos modas o que no haya ninguna que destaque.

Mediana. El número tal que la mitad de las observaciones son mayores que él y la otra mitad menores. El valor de la mediana, será aquel valor que deje a la izquierda el 50% de los datos y a la derecha el otro 50%. Por ejemplo si tenemos las observaciones 6, 7, 8, 6, 7, 6, 8, 6, 9, las ordenamos: 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9. El número 7 deja a su izquierda 4 observaciones y a su derecha otras 4, por lo tanto es la mediana. ¿Qué pasa si el total de las observaciones es par? Por ejemplo: 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9. Tendríamos que sumar estos dos números centrales y dividirlo por 2. La mediana es 7,5.

Media. La suma de los N números dividida entre N. Por ejemplo, para 3, 4 y 5, (3+4+5)/3=12/3=4; para 1, 1, 4, 8, 8 y 8, (1*2+4+8*3)/6=5.

"Visualisation mode median mean" by RIDC NeuroMat CC BY-SA 4.0 (2018)

Media. Evolución de esta al añadir y/o cambiar un dato.

1. Para los datos 5 y 5 la media es 5. Si añadimos un 5 se mantiene en 5. Si añadimos un 8 la media pasa a ser 6.
2. Si tenemos 9 datos con media 5, necesitamos añadir un 6 para que la media pase a ser 5,1. Si tenemos 19 datos con media 5, necesitamos un dato de valor 7 para que la media suba a 5,1.
3. Para un conjunto de datos con media 5, si añadimos otro con media 5, por ejemplo 6 y 4, el nuevo conjunto conserva la media.

Mediana. Evolución de esta al añadir y/o cambiar un dato.

1. La mediana, para los datos 2, 3 y 4 es Me=3. Si cambiamos el 4 por 5 o por 6 o por cualquier otro valor mayor sigue siendo Me=3.
2. En cambio, si añadimos otro dato y tenemos 2, 3, 4 y 4, por ejemplo, la Me=3,5. Y si ahora añadimos un quinto valor, un 4 o un 5 o un 6 o cualquier otro mayor que 4, la mediana en 2, 3, 4, 4 y X pasa a ser 4. Da igual si el valor X es 5, 10 o 50.

Media y mediana comparadas.

Para los datos 4 y 6 la media y la mediana coinciden en 5. Añadir un 8 o un 11 da los mismo para la mediana, que pasa a ser en ambos casos 6. Sin embargo, la media con un 8 pasa a ser 6 y con un 11 pasa a ser 7. Los valores 8 y 11 se consideran observaciones atípicas, están distanciados del resto de valores, tiran de la media y no afectan a la mediana. Si los datos estuvieran repartidos simétricamente respecto a un valor, ese valor sería a la vez la media y la mediana. En cambio, si los valores a un lado de la mediana están más alejados de ella que de los del otro lado, la media se desplaza hacia esos valores alejados que tiran de ella. Hay una asimetría.

Medidas de posición: cuartiles y percentiles.

Dado un conjunto de datos numéricos además de la mediana podemos considerar otras medidas de posición.

• Si nos fijamos en el primer valor que supera al 25% o al 75% de los datos, estamos hablando del primer y tercer cuartil, Q1 y Q3. La mediana es igual al segundo cuartil (Q2), ya que como hemos visto, deja a la izquierda y derecha el 50% de los datos.
• Para otros valores como el 10%, o el 80% hablamos de percentiles, P10 y P80.

"Quantile graph" by René Schwarz CC BY-SA 3.0 (2018)

1. Estadística Descriptiva

Población y muestra

Población es el conjunto de individuos, con alguna característica común, sobre el que se hace un estudio estadístico. La población es un subconjunto del universo, que es el total de individuos.

La muestra es un subconjunto de la población, seleccionada de modo que ponga de manifiesto las características de la misma, de ahí que la propiedad más importante de las muestras es su representatividad.

El proceso seguido en la extracción de la muestra se llama muestreo.

En el siguiente gráfico se puede apreciar un ejemplo explicativo.

"Población" by Fernando1moreno1 CC BY-SA-4.0 (2018)

Variables estadísticas

La característica a estudiar en una población es la variable estadística.

Las variables estadísticas pueden ser esencialmente de dos tipos:

• Las variables cualitativas son las que no aparecen en forma numérica sino como una categoría o atributo. El instituto en el que estudias, tu color de pelo o tu grupo de música favorito son ejemplos de variables cualitativas.

• Las variables cuantitativas son las que pueden expresarse numéricamente, y a su vez pueden ser:

• Cuantitativas discretas, si sólo pueden tomar un número finito de valores. El número de hermanos que tienes, el número de mensajes que envías a diario o las veces que has visitado un país, son variables cuantitativas discretas.

• Cuantitativas continuas cuando pueden tomar cualquier valor de un intervalo. El peso, la altura, la concentración de los ingredientes de un medicamento, son ejemplos de variables cuantitativas continuas.

Gráficos en variables cualitativas.

El diagrama de sectores es el más indicado para este tipo de información. El porcentaje de datos de cada valor en una muestra se corresponde con el mismo porcentaje de sector de un círculo. Así por ejemplo, si los datos son (A, A, A, A, A, B, B, B, C, C). Las frecuencias son (A, 5), (B, 3) y (C, 2), los porcentajes serán (A, 50%), (B, 30%) y (C, 20%), los que corresponde a un gráfico de sectores con (A, 180º), (B, 108º) y (C, 72º).

Gráficos en variables discretas.

Diagrama de barras. En este gráfico la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Gráficos en variables continuas.

Histograma. Los datos se representan por rectángulos cuya base es la amplitud del intervalo representado y con la altura que nos indica la frecuencia absoluta, si todos los intervalos son de la misma amplitud. Si no es el caso, las alturas se calculan de manera que las áreas sean proporcionales a las frecuencias absolutas.

Polígono de frecuencias. Uniremos los centros de la parte superior de todos los rectángulos para obtenerlo.

También se suele dibujar el histograma de las frecuencias acumuladas, en cada dato se acumula la frecuencia de los datos anteriores.

Introducción: ¿Qué es la estadística?

La estadística es la parte de las Matemáticas que se ocupa del estudio de una serie de datos para compararlos y sacar conclusiones, recogiendo los datos, organizándolos en tablas, representándolos gráficamente y analizándolos.

El uso de la estadística en la vida cotidiana es muy habitual, muchas de nuestras decisiones están basadas en el análisis de datos previamente recopilados. Por ejemplo, cuando decidimos no coger el transporte a ciertas horas del día porque sabemos que está colapsado, o desviarnos por una ruta aunque sea más larga en la que no hay colegios a la hora de entrada o salida de éstos.

"Traffic on 2nd Avenue" by Oran Viriyinc - CC BY-2.0 (2018)

La encontramos en todas partes cuando navegamos por internet, las redes sociales te muestran anuncios según tus preferencias de consumo, recopilando información de tu historial de búsqueda. 

"Social Media Marketing Mix" by Blogtrepreneu - CC BY-2.0 (2018)

Sin ir muy lejos, vosotros mismos calculáis la nota media de asignaturas. Si una nota depende de la realización de dos exámenes, y en el primero tenemos un 4, sabemos que en el segundo debemos obtener al menos un 6.

Estos son solo unos pocos ejemplos de la aplicación de la estadística, ¿cuáles se os ocurren a vosotros?. Dejarlos en comentarios y los discutimos en clase.